古代女子善织问题的数学奥秘与解法

在我国古代数学著作中，流传着这样一道经典趣题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？” 这道题以古代女子织布为背景，看似简单，实则蕴含着丰富的数学知识。接下来，就让我们一同揭开它的神秘面纱，探寻其中的解题思路。

题目解析

“今有女子善织，日自倍”，意思是有一位擅长织布的女子，每天织布的数量都是前一天的\(2\)倍；“五日织五尺” 表明她\(5\)天一共织了\(5\)尺布；“问日织几何” 则是让我们求出她每天分别织多少布。

解法探究

方程法

设该女子第一天织布\(x\)尺，因为每天织布数量是前一天的\(2\)倍，所以第二天织布\(2x\)尺，第三天织布\(2×2x = 2^{2}x\)尺，第四天织布\(2×2^{2}x = 2^{3}x\)尺，第五天织布\(2×2^{3}x = 2^{4}x\)尺。

已知五日共织五尺布，可列出方程：\(x + 2x + 2^{2}x + 2^{3}x + 2^{4}x = 5\)，即\(x(1 + 2 + 4 + 8 + 16)=5\) ，\(31x = 5\)，解得\(x = \frac{5}{31}\)尺。

由此可算出，第二天织布\(\frac{5}{31}×2 = \frac{10}{31}\)尺，第三天织布\(\frac{5}{31}×2^{2} = \frac{20}{31}\)尺，第四天织布\(\frac{5}{31}×2^{3} = \frac{40}{31}\)尺，第五天织布\(\frac{5}{31}×2^{4} = \frac{80}{31}\)尺。

等比数列法

从数学角度看，该女子每天织布的数量构成了首项为\(a_{1}\)（第一天织布数），公比\(q = 2\)的等比数列。根据等比数列求和公式\(S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}\)（\(n\)为项数，\(S_{n}\)为前\(n\)项和），已知\(n = 5\)，\(S_{5} = 5\)，\(q = 2\)，代入可得\(5=\frac{a_{1}(1 - 2^{5})}{1 - 2}\)，同样可解得\(a_{1}=\frac{5}{31}\)尺，后续每天织布数量计算与方程法一致 。

古今应用

这类问题在现代生活中也有不少体现。比如投资理财领域，若本金按一定复利（类似每日翻倍）增长，通过类似的计算方法，可以预估不同时间节点的收益；在生物繁殖中，某些细菌以指数形式分裂繁殖，也能用这种数学模型来计算数量变化 。

“今有女子善织” 这一古代数学问题，不仅展现了古人的智慧，还为我们解决现代数学问题和实际生活问题提供了思路与方法 。